人口模型（人口增长的三种模型）原创超级数学建模2017-01-21 22:30:50
1.引言
生物数学包括生物学和医学中的数学建模，以提供有用的信息来指导复杂的生理状况。有些学科中的主题包括：植物学、动物学、生态学、人口动态、遗传学、流行病学、药物（代谢）动力学、生理学、环境科学等等。数学渗透到不同学科的程度在每个实例中各不相同，但在指数增长的文献中有其自身的权利。生物数学中使用的技术有：古典的、概率性的、统计性的、计算与仿真性的和运筹学等。
人口增长的另一个重要考虑因素是社会中的婚姻问题。肯德尔（Kendall）假设婚姻率保持不变从而提出了一个关于此类的数学模型。但是，这个比率在全世界范围内的增加，使得结婚率和时间之间存在曲线关系。在这个概念的基础上，米什拉（Mishra）、奥吉哈（ojha）和潘迪（pandey）通过将婚姻率作为时间的线性二次函数来修改了肯德尔模型。然而，在所有这些问题中，雌雄同体的数量（虽然不多）一直被忽视。因此，我们通过引入雌雄同体的数量，并将婚姻率作为时间的线性函数从而提出一个模型。
2.数学模型及基本控制方程
假设M，F，H和Z分别表示在任何时间 t下的未婚男性，未婚女性，雌雄同体以及已婚夫妇的数量。，，分别表示单位时间内男性，女性，雌雄同体的出生率（父母为已婚夫妇）；，，分别表示单位时间内未婚男性，未婚女性和未婚雌雄同体的死亡率；，，分别表示单位时间内已婚男性，已婚女性和已婚雌雄同体的死亡率。同样，我们假设结婚率是时间 t 的线性函数，由给出，其中为非负常数。然后，人口模型建立如下：
3.求解过程
对（4）式关于 t 积分，我们得到
其中，且积分常数 c 为
其中，为初始（t=0）的已婚夫妇人口数。
将（5）式给出的 Z 值代入到方程（1）到（3），我们可以得到
令求解以上微分方程可得到未婚男性，未婚女性和雌雄同体的数量，结果如下：
其中，是积分常数，由以下各式给出
其中，分别代表未婚男性，未婚女性，未婚雌雄同体的初始人口数。
现在总人口数可由来表示，因此可由（5），（6）和（7）式得到
如果我们假设可正，可负，亦可为零，方程（6）可导出为
令称为人口参数，其值可由方程（5）和（6）获得。因此，我们获得以下满足的微分方程：
同样从方程（5）和（6）可得已婚夫妇，未婚男性与未婚女性，雌雄同体的初始人口数，可由以下表达式给出
4.数值结果
为了深入了解这个自然规律问题，我们考虑人口随时间变化。对此，我们令图中指出，非雌雄同体的情况下，即当H=0时，相对雌雄同体的实例，总人口随处可增。
参考文献
[1] Kendall, D.G. : Stochastic Model and Population Growth, Demography, Springer Verlag (1977)
[2] Mishra, P. :Progress of Mathematics, Vol. 22(1988). P 20.
[3] Ojha, V.P.and Pandey, H: Jour. Nat. Acad. Math., Vol. 7(1989) p.99
作者简介：
D. C桑亚尔博士是印度卡利亚尼大学一名退休的数学教授。桑亚尔教授在一些国内外知名的期刊和学术会议上发表了许多篇研究论文。他的专业领域包括固体力学、流体力学、地球物理学、地球动力学和生物数学。
译者简介：
崔继峰
陕西省榆林市人，2015年博士毕业于上海交通大学，现任教于内蒙古工业大学理学院数学系，美国工业和应用数学学会（SIAM）会员，硕士生导师。
研究方向：应用数学、非线性力学和非线性动力系统。
孙冬伟
内蒙古自治区集宁人，现就读于内蒙古工业大学理学院数学系。
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