加权几何平均数（加权平均数和几何平均数）

这一节里，将主要描述统计的基本概念，计量尺度类型，频率分布，集中趋势描述，分位数，离散程度，切比雪夫不等式，变异系数，坡度峰度等。简单说，就是复习了一遍高中数学基础概念。

本节核心：统计概念和市场收益率Statistical Concepts and Market Returns

统计的必备知识

统计分为两类，描述性统计和推断性统计。

名词解释：描述性统计

描述性统计（descriptive statistics），主要用于描述和扩大数据集合的重要统计特性。

名词解释：推断统计

推断统计（inferential statistics）主要研究如何根据小数据集合（样本）的统计特征去推断大数据集合的特征。

比如我们知道很多人讲身边越来越多人离婚了，然后得出一个结论现在离婚率高，这就是一个很经典的推断统计。根据身边的样本推断出总体特征。当然，虽然这个结论有待商榷，但是由身边现象到全部情况的确是我们的一种习惯思维，也有些认知偏差的意味在里头。

所以有了统计，自然就有了概率和频率。而一般我们所说的频数又叫绝对频率（abosulute frequency），指总体中各个观测值落在不同区间的次数。

而频数（绝对频率）除以总频数，就得到了相对频率（realative frequency）。

比如抽了20次纸牌，其中抽中2次A。那么频数或绝对频率即为2，频率即为10%。（吐槽一下：还是中学时候讲的频数和频率比较顺，CFA里的定义太拗口。）

统计的度量

对集中程度的度量，一般用的是众数、中位数和平均数。

名词解释：算术平均数

算术平均数（arithemetic mean）最简单，就是所有观测值加总再除以观测值的个数。

算术平均数的特性：所有观测值点到算术平均数的距离之和为零；它非常容易受极值影响。

名词解释：加权平均数

加权平均数（weighted mean）就是给不同观测值配上不同权重，然后求得平均值。

可以说，算术平均数就是加权平均数中所有观测值权重均为1的特殊形态。

名词解释：几何平均数

几何平均数（egeometric mean）是对各变量值的连乘积开项数次方根，最常用的情景就是某投资若干年时间内的平均收益率。

名词解释：调和平均数

调和平均数（harmonic mean）较为少见，又称为倒平均数，是各变量倒数的算术平均数的倒数。比较常用的例子，是计算同样价格总额下，多只股票一段时间内的平均购买成本。

在数学上来讲，调和平均数≤几何平均数≤算术平均数。

除了平均数平均数，往往还需要了解众数和中位数，以减少极值的影响，或能更直观观察大数分布。

同时，可能经常会用到的还有分位数，比如四分位（quartile），五分位（quintile），十分位（decile）和百分位（percentile）。

说完了对集中程度的度量，自然要谈对离散程度的度量。一般而言，对集中程度的度量代表了收益预估，而对离散程度的度量代表了风险判断。

首先是平均绝对离差（mean absolute deviation,MAD），是个观测数与其算术平均数之间绝对距离之和的平均值。该值越小，说明数据越集中，离散程度也越小。

而MAD中的绝对值换成平方，即可得到方差（variance）的表达式。方差开平方，就会得到标准差（standard deviation）。

然后热衷于折腾的金融从业人员还不满足于此，弄出了半方差（semi-variance）和目标半方差（target semi-variance），专门用来衡量下行风险。

顾名思义，收益率曲线对称分布时，半方差是方差的一半。不对称分布时，则需要计算均值以下数据的方差。

偏离分布描述

切比雪夫不等式是说，对于任意一组观测值，假设k为大于1的任意常数，则单个观测值落在均值周围k个标准差之内的概率不小于（1-1/k**2）。

名词解释：变异系数

变异系数（coefficient of variation,CV）用来衡量观测值相对变异程度的一个指标，来源于标准差与平均值的比值。

同时，它也等于波动幅度除以均值，因此可以用来衡量1单位预期收益所承担的风险。

名词解释：偏度

偏度（skewness）用来衡量统计数据分布偏斜方向和偏斜程度的指标，反映了统计数据非对称分布的程度，在数据表上看，就是函数曲线尾部的相对长度。

其中右偏态为右边尾部比左边长，其中众数<中位数<算术平均数。房价、收入等数据一般呈右偏态。

而相对应的，左偏态则是算术平均数<中位数<众数，比如收益率等数据一般呈左偏态较多。

峰度（kurtosis）用来衡量统计数据分布在其平均值处峰值高低的指标。如尖峰（leptokurtic）伴随着肥尾（fat tail），而低峰（platykurtic）则伴随着瘦尾（thin tail）。