要追溯虚数出现的轨迹，就要联系与它相对实数的出现过程。我们知道，实数是与虚数相对应的，它包括有理数和无理数，也就是说它是实实在在存在的数。
“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。
人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题。像x2 1=0这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解。12世纪的印度大数学家婆什伽罗都认为这个方程是没有解的。他认为正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此，一个正数的平方根是两重的；一个正数和一个负数，负数没有平方根，因此负数不是平方数。这等于不承认方程的负数平方根的存在。
直到19世纪初，高斯系统地使用了j这个符号，并主张用数偶（a、b）来表示a bj，称为复数，虚数才逐步得以通行。
虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的；莱布尼兹则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。”欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说：“一切形如,√-1，√-2的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”
继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a bj）用平面上的点来表示。后来高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。现 在，复数一般用来表示向量（有方向的量），这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内容。
欧拉公式是什么？为什么欧拉公式被称为世界上最完美的公式？下面我们就一起来了解一下吧。
欧拉公式
欧拉公式又称为欧拉定理，也称为尤拉公式，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，之所以叫作欧拉公式，那是因为欧拉公式是由莱昂哈德·欧拉提出来的，所以用他的名字进行了命名。图中有一根长度为1 的轴绕着圆圈逆时针旋转，这个图就在复平面内通过欧拉公式把实数1和虚数j完美地结合起来了。
那么，虚数除了这种理论上的意义，实际中有它的应用吗？有，不但有，而且非常多，也非常重要。
下面举个例子。
我们知道，对于普通的电阻，
电阻
存在最简单的伏安关系：
但还有一种电子元件，叫电容：
电容
对于电容，同样有伏安关系
电容的伏安关系
其中的
就相当于电阻的R。但
其中的j就是虚数，
就是如图所示
加载在电容元件两端正弦波电压u的频率，C就是电容的大小。
假设
则按照电容的伏安关系可以计算出通过电容的电流为
把电容的电流与电压对比，可以看出，电容的电流在相位上超前电压90度。导致这一结果的原因正是因为电容的容抗里面存在一个虚数j。
下图是用示波器实际观察的电容的电流与电压的波形图。图中明确显示了电流在相位上超前电压90度这个事实。
电容的电流与电压的波形图
这个事实说明，虚数j确实能解决现实中的问题。
