n=1时A1=80属于正整数吗，能被8整除。

假设Ak=5^k+2*3^(k-1)+1能被8整除，那么

A=5^(k+1)+2*3^k+1

=5[5^k+2*3^(k-1)+1]+2*3^k-10*3^(k-1)-4

=5[5^k+2*3^(k-1)+1]-4[3^(k-1)+1],

显然[3^(k-1)+1]能被2整除，

由归纳假设，A能被8整除。

综上，对任意正整数n,An能被8整除。

(i)当n=1时，an=5^1+2*3^0+1=5+2+1=8

所以，能够被8整除

(ii)假设当n=k（k≥2）时，ak能够被8整除

那么，ak=5^k+2*3^(k-1)+1=8m（m为整数）

===> 5*5^k+10*3^(k-1)+5=40m=8n（n为整数）

===> 5*5^k=8n-10*3^(k-1)-5

(iii)则，当n=k+1时：

a=5^(k+1)+2*3^k+1=5*5^k+6*3^(k-1)+1

=8n-4*3^(k-1)-4

=8n-4*[3^(k-1)+1]

因为3^(k-1)为奇数，那么3^(k-1)+1为偶数

那么，4*[3^(k-1)+1]一定是8的倍数

所以，a能够被8整除

综上：an=5^n+2*3^(n-1)+1能够被8整除。

an=5^n+2*3^n-1被8整除；

a(n+1)=5*5^n+2*3*3^n-1=5*[5^n+2*3^n-1]-4*3^n+4

=5an-4*(3^n-1);

5an，被8整除；

3^n 必为一个奇数，

3^n-1必为一个偶数，

4*(3^n-1)至少有4*2的约数，即，被8整除；

从而，a(n+1)= 8的整倍数，

等差 数论 正整数 开平方

由【S(n)=n*a+n(n-1)d/2=m，a=2r+1(r与n属于正整数),d=2】可知

m=n(2r+1)+n(n-1)=(n+r)^2-r^2。

对于正整数p和q，

①取 r=2pq，n=(p-q)^2，那么必有m=(p^2-q^2)^2；

②若0＜q＜p，则取 r=p^2-q^2，n=2q^2，那么必有m=(2pq)^2。

【注】这里本质上我们用的都是勾股数(2pq)^2+(p^2-q^2)^2=(p^2+q^2)^2。

楼主评论中的疑问，只要在我的②中取 p=g+h，q=h 就行。因为按题意只要写出【充分条件】，我省得写0＜q＜p的情况（即②）了。

S(n)=n*a+n(n-1)d/2=m，a=2r+1(r与n属于正整数),d=2

r与n取什么值可使m的开平方为正整数?

1+3+5+7+……+(2n-1)=n^2

1+3+5+7=4^2

1+3+5+7+9=5^2

(1+3+5+7+9)-(1+3+5+7)=5^2-4^2=3^2

∴r=4,n=1可使m的开平方为正整数.

此时:a=2*4+1=9

m=S(1)=1*9+1*(1-1)*2/2=9