匀变速直线运动的速度与时间的关系

【学习目标】

1、了解什么是匀变速直线运动

2、知道匀变速直线运动的 v-t图象特点，知道直线的斜率反映了匀变速直线运动的加速度

3、理解匀变速直线运动的速度与时间的关系式，并会用它求解简单的匀变速直线运动问题

【要点梳理】

要点一、匀变速直线运动

　　如图所示，如果一个运动物体的v-t图象是直线，则无论△t取何值，对应的速度变化量△v与时间△t的比值

都是相同的，由加速度的定义可知，该物体实际是做加速度恒定的运动。这种运动叫匀变速直线运动。

要点诠释：

(1)定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动。

(2)特点：速度均匀变化，即

为一定值。

(3)v-t图象说明凡是倾斜直线的运动一定是匀变速直线运动，反之也成立，即匀变速直线运动的v-t图象一定是一条倾斜的直线。

(4)匀变速直线运动包括两种情形：

a与v同向，匀加速直线运动，速度增加；

a与v反向，匀减速直线运动，速度减小。

要点二、匀变速直线运动的速度与时间的关系式　　设一个物体做匀变速直线运动，在零时刻速度为v0，在t时刻速度为vt，由加速度的定义得

。

解之得

，

这就是表示匀变速直线运动的速度与时间的关系式。

要点诠释：

①速度公式反映了匀变速直线运动的瞬时速度随时间变化的规律，式中v0是开始计时时的瞬时速度，vt是经时间t后的瞬时速度。

②速度公式中v0、vt、a都是矢量，在直线运动中，规定正方向后(常以v0的方向为正方向)，都可用带正、负号的代数量表示，因此，对计算结果中的正、负，需根据正方向的规定加以说明，若经计算后vt＞0，说明末速度与初速度同向；若a＜0，表示加速度与v0反向。

③两种特殊情况：

当a＝0时，公式为v＝v0，做匀速直线运动。

当v0＝0时，公式为v＝at，做初速为零的匀加速直线运动。

要点三、速度公式应用时的方法、技巧　　要点诠释：

(1)速度公式v＝v0 at的适用条件是匀变速直线运动，所以应用公式时必须首先对运动性质和运动过程进行判断和分析。

(2)分析物体的运动问题，要养成画运动草图的习惯，主要有两种草图：一是v-t图象；二是运动轨迹．这样将加深对物体运动过程的理解，有助于发现已知量和未知量之间的相互关系。

(3)如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，弄清物体在每段上的运动规律。如果全过程不是做匀变速运动，但只要每一小段做匀变速运动，也可以在每小段应用速度公式求解。

要点四、v-t的应用　　要点诠释：

(1)匀速直线运动的v-t图象

①图象特征

匀速直线运动的v-t图象是与横轴平行的直线，如图所示。

②图象的作用

a．能直观地反映匀速直线运动速度不变的特点。

b．从图象中可以看出速度的大小和方向，如图，图象在t轴下方，表示速度为负，即速度方向与规定的正方向相反。

c．可以求出位移x。

在v-t图象中，运动物体在时间t内的位移x＝vt，就对应着"边长"分别为v和t的一块矩形的"面积"，如图中画斜线的部分。

(2)匀变速直线运动的v-t图象

①图象的特征

匀变速直线运动的v-t图象是一条倾斜的直线．如图甲和乙所示为不同类型的匀变速运动的速度图象。

初速为零的向加速直线运动的v-t图象是过原点的倾斜直线，如图丙所示。

②图象的作用

a．直观地反映速度v随时间t均匀变化的规律。图甲为匀加速运动，图乙为匀减速运动。

b．可以直接得出任意时刻的速度，包括初速度v0。

c．可求出速度的变化率．图甲表示速度每秒增加0.5m/s，图乙表示速度每秒减小1m/s。

d．图线与时间轴所围"面积"表示物体在时间t内的位移。如图所示，画斜线部分表示时间t内的位移。

(3)v-t图象的深入分析

①v-t图象与时间轴的交点表示速度方向的改变，折点表示加速度方向的改变。(如图所示)

②v-t图象中两图象相交，只是说明两物体在此时刻的速度相同，不能说明两物体相遇。

③v-t图象只能反映直线运动的规律

因为速度是矢量，既有大小又有方向。物体做直线运动时，只可能有两个速度方向，规定了一个为正方向时，另一个便为负值，所以可用正、负号描述全部运动方向。当物体做一般曲线运动时，速度方向各不相同，不可能仅用正、负号表示所有的方向所以不能画出v-t图象。所以，只有直线运动的规律才能用v-t图象描述，任何轴图象反映的也一定是直线运动规律。

④v-t图象为曲线时，曲线上某点的切线斜率等于该时刻物体的加速度．

下表列出几种v-t图象。

要点五、匀变速直线运动的两个重要推论

　　要点诠释：

（1）某段路程的平均速度等于初、末速度的平均值．即

。

注意：该推论只适用于匀变速直线运动。

（2）某段过程中间时刻的瞬时速度，等于该过程的平均速度，即

。

注意:该推论只适用于匀变速直线运动，且以后在处理用打点计时器研究匀变速直线运动物体的速度时，可用此式精确求解打某点时物体的瞬时速度。

【典型例题】

类型一、匀变速直线运动概念的理解

例1、下列说法中正确的是（ ）

物体做直线运动，若在任意相等的时间内增加的位移相等，则物体就做匀速直线运动

物体做直线运动，若在任意相等的时间内增加的位移相等，则物体就做匀加速直线运动

匀变速直线运动中，速度的变化量是恒定的

匀变速直线运动中，在任意相等的时间内速度的变化量是恒定的

【答案】AD

【解析】匀变速直线运动的速度随时间均匀变化，所以在任意相等的时间内速度的变化量是恒定的，但是速度的变化量会随时间的增加而增大，所以速度的变化量是并不是恒定的，故C错误，D正确。根据匀速直线运动的公式x=vt可以断定A正确，B错误。

【总结升华】匀变速直线运动的速度随时间均匀变化，所以在相等的时间内速度的变化量相等．匀速直线运动的速度是恒定的，而位移随时间均匀变化，所以在相等的时间内物体的位移相等。

举一反三

【变式1】下列关于匀变速直线运动的说法正确的是（ ）

做匀变速直线运动的物体，它的加速度方向和速度方向总是相同的

做匀变速直线运动的物体，它的加速度方向和速度变化方向总是相同的

做匀变速直线运动的物体，它的速度变化越大，加速度越大

做匀变速直线运动的物体，它的速度在单位时间内越大，加速度越大

【答案】BD

类型二、刹车过程中速度与时间的关系例2、列车进站前刹车，已知刹车前列车速度为60km/h，刹车加速度大小为0.8m/s2，求刹车后15s和30s列车的速度．

【答案】4.7m/s 0

【解析】以初速度方向为正方向，60km/h＝16.7m/s，

刹车后15s，列车的速度

EMBED Equation.DSMT4 ；

刹车至列车停下所需时间

，故刹车后30s列车的速度v2＝0．

【总结升华】解匀减速问题应注意：（1）书写格式规范，如不能写成v1＝v0-at，因a是矢量，代入数字时带有方向" "或"-"。" "可以省去．(2)刹车类问题应注意停止运动的时间，一般应先判断多长时间停下，再来求解．本题若代入30s运算得v2＝-7.3m/s，是错误的．物理题目的求解结果一定要符合实际，例如你所求得的量若质量出现负值就是不符合实际的．

举一反三【变式1】汽车以54km/h的速度匀速行驶。

若汽车以0.5m/s2的加速度加速，则10s后速度能达到多少？

若汽车以1m/s2的加速度减速刹车，则10s后速度为多少？

若汽车以3m/s2的加速度减速刹车，则10s后速度为多少？

【答案】（1）20m/s （2）5 m/s （3） 0

【变式2】物体沿水平方向做匀减速直线运动，已知加速度大小是0.5m/s2，经过10秒钟物体停止运动，求物体的初速度。

【答案】5m/s

类型三、利用v-t图象判定物体运动的运动情况例3、一质点沿一条直线运动的位移x﹣时间t图象如图所示，则（ ）

A．t=0时刻，质点在坐标原点

B．从t=0时刻到t1时刻，质点位移是x0

C．从t1时刻到t2时刻，质点位移大小等于路程

D．质点在t1时刻的速度比t2时刻的速度小

【解析】A、由图知t=0时刻，质点在距离远点x0处，故A错误；

B、设t1时刻对应纵坐标为x，则t=0时刻到t1时刻，质

点位移为x﹣x0，由于x未知，则位移无法确定，故B错误；

C、质点做单向直线运动，故从t1时刻到t2时刻，质点位移大小等于路程，C正确；

D、图线斜率不变，则质点在t1时刻的速度等于t2时刻的速度，故D错误；

【答案】C

【总结升华】解决本题的关键知道位移时间图线的物理意义，知道图线斜率表示的含义。

举一反三【高清课程：匀变速直线运动中速度与时间的关系 第8页】

【变式1】如图所示是几个质点的运动图象，其中始终是加速运动的是（ ）

【答案】C

【变式2】如图所示为某质点做直线运动的速度v随时间t变化的图象，则下列说法中正确的是（ ）

A．3s末物体的加速度为零

B．0～1s内物体的加速度小于3s～5s内的加速度

C．2s末，物体离出发点最远

D．5s末，物体回到出发点

【解析】A、在2﹣5s时间内，图线的斜率不变，物体做匀变速直线运动，加速度不变，所以3s末物体的加速度不为零，故A错误．

B、根据图象的斜率等于加速度，可知0～1s内图线的斜率大小等于3s～5s内图线的斜率大小，说明这两段时间内物体的加速度大小相等，故B错误．

C、物体在0﹣3s内沿正向运动，3s﹣5s内沿负向运动，所以在3s末，物体离出发点最远，故C错误．

D、根据"面积"大小表示位移可知，0﹣3s内位移为：x1=

×（1 3）×3m=6m，

3s﹣5s内位移为：x2=﹣

×6×2m=6m，

5s末的位移为：x=x1 x2=0，说明5s末，物体回到出发点．故D正确．

【答案】D

【变式3】如图为一物体做匀变速直线运动的速度—时间图线，根据图线做出的以下判断中，正确的是（ ）

A．物体始终沿正方向运动

B．物体先沿负方向运动，在t=2s后开始沿正方向运动

C．在t=2s前物体位于出发点负方向上，在t=2s后位于出发点正方向上

D．在t=2s时，物体距出发点最远

【答案】BD

类型四、应用匀变速直线运动速度公式解题

例4、一物体从静止开始以2m/s2的加速度做匀加速直线运动，经5s后做匀速直线运动，最后2s的时间内物体做匀减速直线运动直至静止．求：

(1)物体做匀速直线运动的速度是多大?

(2)物体做匀减速直线运动时的加速度是多大?

【答案】10m/s

【解析】解题关键是画出如图所示的示意图．

由图知A→B为匀加速直线运动，BC为匀速直线运动，CD为匀减速直线运动，匀速运动段的速度为AB段的末速度，也为CD段的初速度．

(1)由速度、时间的关系式得

vB＝a1t1＝2×5m/s＝10m/s，

即做匀速直线运动的速度为10m/s，

vC＝vB＝10m/s．

(2)由v＝v0 a2t2 得

，

负号表示加速度方向与v0方向相反．

【总结升华】求解运动学问题时，由题意画出过程图示，可以将复杂的运动过程变得清晰，从中找到解题方法的一些启示．

举一反三

【变式1】一物体做匀变速直线运动．当t=0时，物体的速度大小为12m/s，方向向东，当t=2s时，物体的速度大小为8m/s，方向仍向东，则当t为多少时，物体的速度大小变为2m/s（ ）

A．3sB．5s

C．7sD．9s

【答案】BC

【变式2】一质点从静止开始以1 m/s2的加速度匀加速运动，经5s后做匀速运动，最后2s质点做匀减速运动直至静止，则质点匀速运动时的速度是多大？减速运动时的加速度是多大？

【答案】

【解析】质点的运动过程包括加速→匀速→减速三个阶段，如图所示．

图象中OB段为加速，BC段为匀速，CD段为减速，匀速运动的速度既为OB段的末速度，也为CD段的初速度，这样一来，就可以利用公式方便地求解了．

由题意画出图象，由运动学公式知：

，

．

由

应用于CD段()得：

．

负号表示a的方向与v0的方向相反．

【总结升华】解决运动学问题要善于由题意画出图象，利用图象解题无论是从思维上还是解题过程的叙述上都变得简洁，可以说能起到事半功倍的作用．

【变式3】足球运动员在罚点球时,球获得30m/s的速度井做匀速直线运动,设脚与球作用时间为0.1s,球又在空中飞行0.3s后被守门员挡出,守门员双手与球接触时间为0.1s,且球被挡出后以10m/s沿原路返弹,求:(1)罚球瞬间,球的加速度多大?(2)接球瞬间,球的加速度多大?

【答案】(1)300m/s2(2)-400m/s2

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